CHÖÔNG
I. HAI TÍNH CHAÁT CUÛA AÙP SUAÁT THUYÛ TÓNH
- p ⊥ A vaø höôùng vaøo A. (suy ra töø ñònh nghóa).
- Giaù trò p taïi moät ñieåm khoâng phuï thuoäc vaøo höôùng ñaët cuûa beà maët taùc duïng.
p x
pn
p z
δz δx
δy
δs
θ
n
x
z
y
Xem phaàn töû löu chaát nhö moät töù dieän vuoâng goùc ñaët taïi goác toaï ñoä nhö hình veõ:
Caùc löïc leân phaàn töû löu chaát:
Löïc maët : p xδyδz; p yδxδz; pzδyδx; pnδyδs.
Löïc khoái: ½Fδxδyδzρ.
Toång caùc löïc treân phöông x phaûi baèng khoâng:
p xδyδz - p nδyδs(δz/δs) + ½F xδxδyδzρ = 0
Chia taát caû cho δyδz :
p x - p n + ½F xρδx = 0 ⇒ px = pn khi δx → 0.
Chöùng minh töông töï cho caùc phöông khaùc
Suy ra: p x =p y = p z = p n
II. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CÔ BAÛN
WA
p
n
Xeùt löu chaát ôû traïng thaùi caân baèng coù theå tích W giôùi haïn bôûi dieän tích A.Ta coù toång caùc löïc taùc duïng leân löu chaát =0:Löïc khoái + löïc maët = 0: F dw pdA 0w A
∫∫∫ ρ −∫∫ =
Ta xeùt treân truïc x:
0x
0 F (p)x
F (p n )
0z
(p ny
(p n )x
F (p n )
F dw p dA 0 F dw div(p )dw 0
x
x xx pp p px
x x xx y xy z xz
W
xw
x
b.d
A
xw
x
x y z = ∂
= ←⎯ ⎯⎯⎯→ρ −∂∂
⇔ρ −∂
⎟⎟=⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∂
+∂∂
∂+∂
⇔ρ − ∂
ρ − = ρ − =
= = =
∫∫∫ ∫∫ ⇔ ∫∫∫ ∫∫∫
Xeùt töông töï cho caùc truïc khaùc
F 1 grad(p)= 0 ρ
⇔ −
F dw pdA 0 F dw grad(p)dw 0w A w W
Keát luaän: ∫∫∫ ρ −∫∫ = ⇔∫∫∫ ρ −∫∫∫ =
III. TÍCH PHAÂN PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CÔ BAÛN
10
10
10
10
=ρ
+⇒ + + −
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
= ×∂
∂ρ
−
= ×∂
∂ρ
−
= ×∂
∂ρ
−
(Fdx Fdy Fdz) dp
dzz
F p
dyy
F p
dxx
F p
x y z
z
y
x
z A
pa
pA
pB
hAB
chuaån 0
zBhay: z p const z p z p ( 1 )
gdz 1 dp gz p const
BB
AA
const
γ
= +γ
= ⇔ +γ
=ρ
⎯⎯⎯ → +ρ
− = ρ=
¾Chaát loûng naèm trong tröôøng troïng löïc: Fx, F y =0, F z =-g:
hay: pB = p A + γh AB hay p = p a+γh (2)
(1), (2) laø phöông trình thuyû tónh
Töø z 1 =11000 m ñeán z 2 =14500m, nhieät ñoä khoâng ñoåi neân:
g z
RTg
RT1 11 lnp ln(C) ln Cp Cp eg
RTzp
dpg
RTdp dzp
RTgdz
1 1 ⎟⎟⇒ = ⎠
⎞⎜
⎜⎝
⎛− = ⇒ =− ⇒ =− + =
− −
Taïi ñoä cao z 1 ta coù aùp suaát baèng p 1 ; suy ra:
( )
111
1 (z z)RTg 1g
RT1
z
####### p pe
####### p
####### e
####### C
−
####### = ⇒ =
Nhö vaäy taïi ñoä cao z 2 =14500m ta tính ñöôïc:
####### 0. 09752 mHg 97
####### p pe 0. 17 *e 278 * 216. 5
( 1100014500 ) 9. 81RT(z z ) g2 1
121
####### = =
####### = =
− −
31
2 1
####### 2 0. 209 kg/m
####### p
####### p ρ
####### vaøø: ρ = =
IV. MAËT ÑAÚNG AÙP, P TUYEÄT ÑOÁI , P DÖ, P CHAÂN KHOÂNG
¾Maët ñaúng aùp cuûa chaát loûng naèm trong tröôøng troïng löïc laø maët phaúng naèmngang
¾Phöông trình maët ñaúng aùp: F xdx + Fydy + Fzdz=
¾AÙp suaát dö : p dö = p tñ - p a
¾Neáu taïi moät ñieåm coù pdö < 0 thì taïi ñoù coù aùp suaát chaân khoâng p ck
pck= -p dö = pa – ptñ
¾p trong phöông trình thuyû tónh laø aùp suaát tuyeät ñoái pt ñ. hoaëc aùp suaát dö
55 66 77
11 22 33 44
¾Các điểm naøo (?) có áp suất bằng nhau:
V. ÖÙNG DUÏNG
p=0, chaân khoâng tuyeät ñoái
h tñA
A
B
tdpA =pB+γh
hdöA
A
p aB
pdu A =pduB+γhdu=γh du
hckA
A
pa
B
pdu A =pduB−γhck⇒pckA=γh ck
Caùc aùp keá:
Ñònh luaät bình thoâng nhau:
p A=pA’+ γ 2 h 2 ; pB=pB’+ γ 1 h 1
Suy ra γ 1 h 1 =γ 2 h 2
Töø p thuyû tónh: h 1
γ 1
γ 2 h 2 A
A ’ B ’
B
A ’
Taïi moät vò trí naøo ñoù trong löu chaát neáp aùpsuaát taêng leân moät ñaïi löôïng ∆p thì ñaïi löôïngnaøy seõ ñöôïc truyeàn ñi trong toaøn mieàn löuchaát → öùng duïng trong maùy neùn thuûy löïc.
- Ñònh luaät Pascal: f
p=f/a F=pA
####### Pascal 1623-1662 , Phaùp
VI. LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN THAØNH PHAÚNG
C
xy yCI xx =Ic +yC2 AI xy =I x’y’ +xC yC AIc
pa O(x)
y
α
C
hD y
dA
D
yD
F
hC
h
Taâm aùp löïc
¾ Giaù trò löïc
sin ydA sin y A h A p A
F p dA hdA ysin dA
C C duCA
A A A
du du
=γ α =γ α =γ =
= = γ = γ α
####### ∫
####### ∫ ∫ ∫
Töông töï :
y A
Ix xc
x'y'D = C+
¾ Ñieåm ñaët löïc
xxA A A
y D F= ∫ ydF=∫ yγsinαydA=γsinα∫y 2 dA=γsinαI
Suy ra: y A
I y Ay A
IF
y sin I C
C 2 CC
D=γ α xx= xx = +
y A
Iy yC
CD = C+
F du =pduC A
y A
I x y Ay A
IF
sin IxC
x'y' C CC
xy xyD
- = =
γ α
I c: M. q tính cuûa A so vôùi truïc //0x vaø qua CI x’y’: M. q tính cuûa A so vôùi troïng taâm C
¾ Löïc taùc duïng leân thaønh phaúng chöõ nhaät ñaùy naèm ngang:
F=γΩb
Ñaët: Ω=(h A +hB ).(AB)/Suy ra:
BD=[(hB+2h A )/(hB +h A)].(AB)/
2
h hp C A B
- =γ
(AB) b2
h hF ApC A B
- ⇒ = =γ
B
A
hA
hB
Ω hA
h B D
C *
F
O(y)
z
x
A x
Maëtcong A
dA
dA z
dA x
h
pa
n
(n,ox) dF
x
A z
2 2 2F = Fx +Fy +F z
cx xAx
xA
x
A A
x x
hdA hdA p A
F dF pdAcos(n,ox)
= γ = γ =
= =
∫ ∫
∫ ∫
¾ Thaønh phaàn löïc theo phöông x
¾ Thaønh phaàn löïc theo phöông z
hdA W
F dF hdAcos(n,oz)
A
z
A A
z z
= γ = γ
= = γ
∫
∫ ∫
W: theå tích vaät aùp löïc: laø theå tích cuûa vaät thaúng ñöùng giôùi haïn bôûi maët cong Avaø hình chieáu thaúng ñöùng cuûa A leân maët thoaùng töï do (Az )
VII. LÖÏC TAÙC DUÏNG LEÂN THAØNH CONG ÑÔN GIAÛN
p a¾ Caùc ví duï veà vaät aùp löïc W:
P du w
F z
P a P ck
w
F z
P a
P ck
P a
w
F z
w
p a
w
p dö
p dö /γF z
w
p ck
p aF p ck/γz
pa
w
F z
pck
p a
p ck/γ
w
F z
p ck
p a
p ck/γw 1
w 2
Fz
F z
####### Ar =− G
¾ Vaät noåi
W
IMD = yy
yy D
Ar
C
A G
oån ñònh: MD>CD →M cao hôn C
D
Ar
MC
G
D
C
G
Ar
M
khoâng oån ñònh:MD<CD →M thaáp hôn CM: Taâm ñònh khuynh.Iyy : Moment quaùn tính cuûa dieän tích maët noåi A so vôùi truïc quay yy.W: theå tích nöôùc bò vaät chieám choã
VIII. SÖÏ CAÂN BAÈNG CUÛA MOÄT VAÄT TRONG LÖU CHAÁT
¾ Vaät chìm lô löûng
C
D
Ar
G
D
C
G
Ar
D C
oån ñònh khoâng oån ñònh Phieám ñònh
Ar
G
VIII. ÖÙNG DUÏNG
Ví duï 2: Tính z, pa =76cmHg, γnb =11200 N/m3; γHg = N/m 3
Ta coù: p A = p B + γHg h AB =0 γHg + γHg h AB
= γHg (0+0)=1 γHg
Maët khaùc: p A – p a = γnb .(z+0)
Suy ra: (z+0)=(p A – p a )/ γnb =(1 γHg - 0 γHg )/ γnb =0(γHg / γnb ) =0.88.133000/11200=10
Suy ra z = 10 m
pa
z
40cm40cm
p tñ =
Hg
84cmA
B
Ví duï 3: Bình ñaùy vuoâng caïnh a=2m. Ñoå vaøo bình hai chaát loûng khaùc nhau, δù1 =0,8 ; δ 2 =1,1. V 1 =6m 3 ; V 2 =5m3. Tìm p B
γ 1 = δù 1 γn=0910 ^3 N/m 3
γ 2 = δù 2 γn=1910 ^3 N/m 3
Giaûi:
Goïi h 2 laø beà daøy cuûa lôùp chaát loûng 2: h 2 =(5/4)m.Goïi h 1 laø beà daøy cuûa lôùp chaát loûng 1: h 1 =(6/4)m.Ta coù h AB = h 2 – h = 0
Suy ra: pB =pA +γ 2 *h AB = pA + γ 2 *(0)
Suy ra: pB = pa + γ 1 *h 1 + γ 2 *(0)
γ 1 γ 2
a=2m
B h=1m
h
h A
pa
Suy ra: p du B= 0+ γ 1 (1) + γ 2 (0)=910 3 (01+1*0)=14 m nöôùc
Thí nghiệm: Ottovon Guericke (8.5) tại Maydeburg, Đức
Dùng 2 bán cầu D = 37 cm, bịt kín và hút khí để áp suất tuyệt đối trongqủa cầu bằng không.
Cho 2 đàn ngựa kéo vẫn không tách bán cầu ra được. Vậy phải cần 1 lựcbằng bao nhiêu để tách hai bán cầu ra (xem lực dình giữa 2 bán cầu khôngđáng kể)
####### F =? D
####### F =?
####### Chân không p(tuyệt đối) =
####### 0
E
A
B
P 0du = 0,1at
3m
2m α=60 0
C
C
h C A
D
y
O
F
Fn
1m
p a
B
Ví duï 6: Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèm ngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D. Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeânGiaûi:
h C = 1+ 3+2/3 = 4
- 31 m3
4
2
3
2sin(60)
AB 2 = 0 = = =
Dieän tích A cuûa tam giaùc: A=(AE)*(AB)/2=3 m 2
AÙp löïc: F ndu = γh C A=943 = 140,97 KN Toaï ñoä yC = OC= h C/sin(60 0 ) = 5
55. 389 * 3. 079
36
- 667 * 2. 31
- 389y A
36
b*hyy A
OD y y I
3
C
3
CC
= D = C+ C = + = + =
AB chính laø chieàu cao cuûa tam giaùc ñeàu,
Caïnh ñaùy AE cuûa tam giaùc: AE=2*AB/tg(60 0 )=2
F n(AD)=F(2)
Suy ra: F=Fn(AD)/(2)=140*(OD-OA)/2 = 140*(5 – 4)/2 =58 KN
Ghi chuù: OA=4/sin(60 0 )
A
B
P 0ck = 0,6at
3m
2m α=60 0
C
Ch C
A
D
y
O
F
F n
1m p a
B
Ví duï 7:
Van phaúng ABE hình tam giaùc ñeàu coù theå quay quanh truïc A naèmngang nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåmñaëc löïc D. Tính löïc F ngang (xem hình veõ) ñeå giöõ van ñöùng yeânGiaûi:p C = - γh C = -9*10 3 (1+ 2-2/3) = -910 3 * 2 N/m 2
AÙp löïc: F ndu =- γh C A=-923. = -70 KN
Toaï ñoä y C = - OC= hC /sin(60 0 ) = -2 m
- 804 m
- 694 * 3. 079
36
- 667 * 2. 31
- 694y A
36
b*hyy A
OD y y I
3
C
3
CC
D C C = −
= = + = + =− +
F n (AD)=F(2)
Suy ra: F=Fn(AD)/(2)=140*(OA-OD)/2 = 70*(3 – 2)/2 =23 KN
Ghi chuù: OA=3/sin(60 0 )
AB =2 mAE= 2A=3 m
Ví duï 8: Moät cöûa van cung coù daïng ¼ hình truï baùn kính R=1,5m; daøi L=3m quay quanh truïc naèm ngang qua O. Van coù khoái löôïng 6000 kg vaø troïng taâm ñaët taïi G nhö hình veõ. Tính aùp löïc nöôùc taùc duïng leân van vaø vò trí ñieåm ñaëc löïc D. Xaùc ñònh moment caàn môûGiaûi: van
- 5 * 3 33. 10 KN2
F p A h A 9. 81 * 103 * 1. 5 x = cx x=γ cx = =
- 3 52 KN4
L 9. 81 * 10 * * 1. 54
F W R 232 z = =γ =γπ = π
F = Fx 2 +Fz 2 = 33 2 + 522 = 61. 65 KN
0x
z 1 57 , 52 33. 1
52F
Ftg( α) = = = ⇒α=
G 1,5m
nöôùc
0,6m
0,6m
G
F x
F z F
α
D
M =G* 0. 6 = 9. 81 * 6000 * 0. 6 = 35316 Nm
O
p a
Ví duï 9: Moät hình truï baùn kính R=2m; daøi L=2m ÔÛ vò trí caân baèng nhö hình veõ. Xaùc ñònh troïng löôïng cuûa phao vaø phaûn löïc taïi A
Giaûi:
39 KN
- 2 * 22
29. 81 * 10 *
R F p A h A 3
A x cx x cx x
=
=
= = =γ
G 263
R R )4
3G W - W 9L(
G F F 0
2 22 1
z 1 z 2
=
⇒ =γ γ = π +
- =
r
nöôùc
A
R
F z1 =γW 1
F z2 =γW 2
p a
Một bình baèng saét hình noùn cuït khoâng ñaùy ( δ=7) được uùp như hìnhvẽ. Đaùy lôùn R=1m, ñaùy nhoû r=0,5m, cao H=4m, daøy b=3mm. TínhGiaûi: giới hạn möïc nöôùc x trong bình ñeå bình khoûi bò nhaác leân.Vnoncuttron g =πH(R 2 +r 2 +Rr)/ 3
Troïng löôïng bình:
Vnoncutngoa i =πH((R+b) 2 +(r+b) 2 +(R+b)(r+b))/ 3
R
r
H
x
b
W
rx
Fz
Ví duï 12:
Ñieàu kieän: G ≥ F zSuy ra: 441 ≥ F z Giaûi ra ñöôïc x ≤ 1 m
G =γn δV=γnδ(Vnoncutngoai−Vnoncuttrong)= 1000 * 7. 8 * 0. 057 = 441. 96 kgf
⇔ 16. 36 x 3 − 392. 7 x 2 + 441. 96 ≥ 0
2 3
2n
2 2n
x
2x
2 2z n n
x 392. 7 x 16. 36 xH
x (R r)H
3 R(R r)3
γ πx
(R r ))H
(R r)) R(R xH
2 R (R x3
γ πx
(R r Rr )3
F γW γ R π x πx
= −⎥
⎥⎦
⎤⎢
⎢⎣
⎡ ⎟ ⎠
⎜ ⎞⎝
= − −⎛ −
⎥⎦
⎤⎢⎣= ⎡ − − − − − −
⎥⎦
⎤⎢⎣= = ⎡ − − +
Ta tính löïc F z höôùng leân do nöôùc taùc duïng leân bình:
( R r)
H
r R xR r
R rH
x x
x ⇒ = − −−
Từ quan hệ: = −
a H
g g *
α A
B
O x
VIII. TÓNH HOÏC TÖÔNG ÑOÁI z1öôùc trong xe chaïy tôùi tröôùc nhanh daàn ñeàu:
- Phaân boá aùp suaát:
dp 0ρ
1(F xdx + Fydy+Fzdz)− = vôùi Fx=-a; Fy=0; Fz=-g
Suy ra:
Ñoái vôùi hai ñieåm A,B thaúng ñöùng:
- A A B gzB pB pA hABhay p pa hpgz
p + ⇒ = +γ = +γρ
- =ρ
- P Maët ñaúng aùp:
x Cg
a( −adx −gdz)= 0 ⇒ax+gz=C⇒z=− +
C
p( adx gdz) dp ax gz =ρ
= ⇒ + +ρ
− − − 0
1
2öôùc trong bình truï quay ñeàu quanh truïc thaúng ñöùng:
ω 2 r
H/2 HH/O
z
r
g ω
A
B
ÔÛ ñaây: Fx =ω 2 x; F y =ω 2 y; F z=-g.
Suy ra: C2 g
ωrγ
dp 0 z pρ
(ω 2 xdx+ω 2 ydy−gdz)− 1 = ⇒ + − 22 =
Ñoái vôùi hai ñieåm A,B thaúng ñöùng:
- B A AB a
2B
2BB
2A
2AA 2 g p p γh hay p p γh
ωrγ
pz2 g
ωrγ
pz + − = + − ⇒ = + = +
- P Maët ñaúng aùp:
Cg
rC zg
r( xdx ydy gdz) z +
ω= ⇒ =
ωω +ω − = ⇒ −2 2
2 2 2 22 2
- Phaân boá aùp suaát:
W
ρr Wg
ρl Wg
ρr Wω 2r
ρl Wω 2 r
F r
F l
ρr >ρl : chìm ra
ρr <ρl : noåi vaøo
Nguyeân lyù laéng ly taâm :
IX. ÖÙNG DUÏNG TÓNH TÖÔNG ÑOÁI
¾Haït daàu quay cuøng trong nöôùc seõ noåi leân maët thoaùng vaø ôû taâm bình truï.¾Haït caùt quay cuøng trong nöôùc seõ chìm xuoáng vaø ôû meùp daùy bình truï.
Ví duï 15: Moät bình hình hoäp kín (cao b, ñaùy vuoâng caïnh a) chöùa nöôùc ñaày nöôùc quay troøn quanh truïc thaúng ñöùng qua taâm. Bieát taïi A- taâm ñaùy treân cuûa bình laø aùp suaát khí trôøi. Tính löïc taùc duïng leân maët beân cuûa
Giaûi bình
b
2 g
ωrh *
2 2Ta coù: =
dA x
x
y
y r a/
a
A
h*
Maët ñaúng aùp - p a
C
Löïc taùc duïng leân vi phaân dAxbaèng:
bdy2 g
)4
aω (y
2
dF p dA γ b
22 2C x⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ += = +
Suy ra:
( )
⎥ ⇒⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= + +
⎥
⎥⎦
⎤
⎢
⎢⎣
⎡ ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= + +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= ∫ + +
8
a24
a2 g
ω4
ab2 γb
2
a4
a3
a/ 22 g
ω2
a2
b2 γb
)dy4
a(y2 g
ω2
bF 2 γb
2 3 3
2 3 2
a/ 2
22
2
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= +6 g
ω a2
bF γab
2 2
Ví duï 16: Moät heä thoáng goàm 3 oáng nghieäm thaúng ñöùng baèng vaø thoâng nhau
quay quanh Oz qua oáng giöõa nhö hình veõ. Vaän toác quay n=voøng/ph. Boû qua ñoä nghieâng maët nöôùc trong oáng. Tìm pC , p O, pB tronghai tröôøng hôïp nuùt kín vaø khoâng nuùt C, C’,
Giaûi:
Neáu nuùt kín C,C’ thì khi quay, nöôùc khoâng di chuyeån,nhöng aùp suaát taïi C vaø C’ seõ taêng leân. Phöông trìnhmaët ñaúng aùp – aùp suaát p C (choïn goác toaï ñoä taïi ñaùyparabol): 0 m2 * 9. 81
12 * 0. 2h2 g
ω rz
2 2 2 2= ⇒ = =
Nhö vaäy aùp suaát dö taïi C vaø C’ baèng nhau vaøbaèng: p duC =pduC' =γh= 9810 *0=2951N/m 2
p γ*( 0. 4 0. 3 ) 6875 N/m
p γ* 0. 4 9810 *0 3924N/m du 2 B
du 2D⇒ = + =
⇒ = = =
C’ A C
ωD Br=0 r=0
O
hhhh
40cm
Neáu khoâng nuùt C,C’ thì khi quay, nöôùc taïi A seõ haï thaápxuoáng h, vaø nöôùc taïi C vaø C’ seõ daâng leân h/2. Phöôngtrình maët ñaúng aùp – aùp suaát khí trôøi (choïn goác toaï ñoä taïiñaùy parabol):
r=0 r=0
C’ A C
ωD B
O
h
h/ 2
0 h 02 * 9. 81
12 * 0. 2h2
32 g
ω rz
2 2 2 2= ⇒ = = ⇒ =
####### ⇒ p duC =pduC' =γh= 9810 *0 = 983/m 2
####### p γ*( 0. 4 0. 1 ) 4905 N/m
####### p γ*( 0. 4 0. 2 ) 9810 *0 1967/m
du 2B
du 2D
####### ⇒ = + =
####### ⇒ = − = =
Moät oáng troøn baùn kính r = 1 m chöùa nöôùc ñeán nöûa oáng nhö hìnhveõ. Treân maët thoùang khí coù aùp suaát dö p o = 0,5 m nöôùc. Bieát nöôùc ôûtraïng thaùi tónh. Tính toång aùùp löïc cuûa nöôùc taùc duïng leân ¼ maët cong(BC) treân 1m daøi cuûa oáng
Ví duï 17
p o r B
C
Giaûi:
)r. 1 9810 ( 0 , 5 0 , 5 ) 1 9810 N2
rFx =pcxAx=γ( 0 , 5 + = + =
0 , 5 r). 1 9810 *1 12605 N4
rF γW γ( π
2z = = + = =
####### F F F 15973 N
2z
2
####### = x + =
